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如何求反函数的导数?

2024-01-25 19:48:14 编辑:join 浏览量:603

反函数的求导法则是:反函数的导数是原函数导数的倒数。

如果函数x=f(y)在区间Iy内单调、可导且f′(y)≠0,那么它的反函数y=f−1(x)在区间Ix=

{x|x=f(y),y∈Iy}内也可导,且[f−1(x)]′=1f′(y)或dydx=1dxdy

这个结论可以简单表达为:反函数的导数等于直接函数导数配派的倒数。

例:

设x=siny,y∈[−π2,π2]

为直接毁笑导数,则y=arcsinx是它培余贺的反函数,求反函数的导数。

解:函数x=siny在区间内单调可导,f′(y)=cosy≠0

因此,由公式得

(arcsinx)′=1(siny)′=1cosy=11−sin2y−−−−−−−−√=11−x2−−−−−√

如何求反函数的导数?

一般地,设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C,根据这个函数中x,y 的关系,用y把x表示出,得到x= g(y).

若对于y在C反函数中的任何一个值,通过x= g(y),x在A中都有唯一的值和它对应,那么,x=

g(y)就表示y是自变量,x是因变量是y的函数,这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数,记作y=f^(-1)

(x) 反函数y=f^(-1) (x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。

标签:反函数,导数

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