解:将已知应力分虽x=—g ,尸一q , x)=0 >代入平衡微分方程
dx+dyx+X=(^
办 6y >
dd~
>■ + 小+『=0丨
~dy ~dx~ J
可知,已知应力分M x=-q , y=-q , g=0—般不满足平衡微分方程,只有体力忽略不计时才
满足。
按应力求解平而应力问题的相容方程:
夕(-)4- d2( - >2(1+ ) 1 些
dy2 X ' ox2 v •' QxQy
将已知应力分M x=-q ,产一q , r=0代入上式,可知满足相容方程。
按应力求解平而应变问题的相容方程:
6? ( - )+ 別(_ _ J 护与
丽 r 1- y 丽 y\~x 1— 6xdy
将已知应力分S x=-q , 〉•=_「严0代入上式,可知满足相容方程。
4、试写岀平而问题的应变分量存在的必要条件,并考虑下列平而问题的应变分量是否可能存在。
其中,儿B, C, D为常数。
解:应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件,即
d2
夕 d2
x + = O'
dy2 dx2 dxdy
将以上应变分量代入上而的形变协调方程,可知:
(1) 相容。
(2) 2A+2By=C (1分);这组应力分量若存在,则须满足:B=0, 2A=CO
(3) 0=C;这组应力分量若存在,则须满足:C=0,则v=0, v=0, q=0 (1分)。
5、证明应力函数=b.y2能满足相容方程,并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题
(体力不计,怎0)。
解:将应力函数=孙4代入相容方程
d4 $ d4 _+2 +_=0
dx4
dx2dy2 dy 4
可知,所给应力函数 =血,2能满足相容方程。
由于不计体力,对应的应力分量为
=即 a2
d2
丐曲,尸着。’I耐严
对于图示的矩形板和坐标系,当板内发生上述应力时,根据边界条件,上下左右四个边上的而 力分别为:
=竹,2能解决矩形板在X方向受均布拉力(b>0)和均布压力(处0)的问题。
6、证明应力函数 小能满足相容方程,并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题
(体力不计,aHO )o
解:将应力函数=09代入相容方程
a4 用 64
_+2_^ +—=0
dx4
dx2dy2 dy4
可知,所给应力函数 =ory能满足相容方程。 由于不计体力,对应的应力分量为
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