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答案 f ( x) = x3- 2x2+ 1

10.已知函数 f ( x) = x3- ax2+ 3x+ 6,若 x= 3 是 f ( x) 的一个极值点,求

值.

解 f ′(x) = 3x2-2ax+ 3,由已知得 f ′(3) = 0,

∴3×9- 6a+ 3=0. ∴ a= 5,

∴f ( x) = x3- 5x2+ 3x+ 6.

令 f ′(x) = 3x2- 10x+ 3=0,

1

得 x1= 3,x2= 3.

则 x, f ′(x) , f ( x) 的变化关系以下表 .

∴f ( x) 在 [0,5] 上的最大值为 f (5) =21,

最小值为 f (3) =- 3.

f( x) 在 [0 ,a] 上的最

(3,5) 5

+

递加 21

11.设函数 f ( x) = x+ ax2+ bln x,曲线 y= f ( x) 过 P(1,0) ,且在 P 点处的切线斜率为 2.

(1)求 a, b 的值;

(2)证明: f ( x) ≤2x- 2.

b

(1) 解 f ′(x) =1+ 2ax+x.

f 1 =0, 1+ a= 0,

由已知条件得 即

f ′ 1 = 2, 1+ 2a+ b=2.

a=- 1,

解得

b= 3.

DOC版 .

当 00 ,当 x>1 时, g′(x)<0.

所以 g( x) 在 (0,1) 内单一递加,在 (1 ,+∞ ) 内单一递减.

而 g(1) = 0,故当 x>0 时, g( x) ≤0,即 f ( x) ≤2x- 2.

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