什么是排序不等式

排序不等式是高中数学竞赛大纲、新课标 要求的基本不等式.

设有两组数 a 1 ,a 2 ,…… a n,b 1 ,b 2 ,…… b n 满足 a 1 ≤ a 2 ≤……≤ a n,b 1 ≤ b 2 ≤……≤ b n 则有 a 1 b n + a 2 b n-1+……+ a n b 1≤ a 1 b t + a 2 b t +……+ a n b t ≤ a 1 b 1 + a 2 b 2 + a n b n 式中t1,t2,……,tn是1,2,……,n的任意一个排列,当且仅当 a 1 = a 2 =……= a n 或 b 1 = b 2 =……= b n 时成立.

排序不等式常用于与顺序无关的一组数乘积的关系.可以先令a1>=a2>=a3>=...>=an,确定大小关系.

使用时常构造一组数,使其与原数构成乘积关系,适用于分式、乘积式尤其是轮换不等式的证明.

以上排序不等式也可简记为：反序和≤乱序和≤同序和.

证明时可采用逐步调整法.

例如,证明：其余不变时,将a 1 b 1 + a 2 b 2 调整为a 1 b 2 + a 2 b 1 ,值变小,只需作差证明（a 1 -a 2 ）*（b 1 -b 2 ）≥0,这由题知成立.

依次类推,根据逐步调整法,排序不等式得证.

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