波莱尔域

在数学中，一个波莱尔域是指在一个指定的拓扑空间中，可由其开集（或者等价地，可由其闭集）的可数次并运算、可数次交运算和（或）差运算得到的一个集合。波莱尔域是由Émile Borel的名字命名的。

对于一个拓扑空间X，其所有波莱尔域的全体构成一个σ-代数，称为波莱尔代数。拓扑空间X上的波莱尔代数是X上包含其所有开集（或者等价地，所有闭集）的最小的σ-代数。

波莱尔域在测度论中有着重要的意义，因为任何空间上的开集（或者闭集）上定义的测度，必然可以将定义延拓到空间所有的波莱尔域上。定义在波莱尔域上的测度被称为波莱尔测度。波莱尔域和相关的波莱尔分层在描述集合论中也起着基础性的作用。

在某些语境下，波莱尔域被定义为是由拓扑空间中的紧集而不是开集生成的。两个定义在很多良态的空间中是等价的，包括所有σ-紧的豪斯多夫空间，但是在具有病态性质的空间中两者可能不同。

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