权的概念

在对某一未知量进行不等精度观测时，各观测值的中误差各不相腊银同，即观测值具有不同程度的可靠性。在求未知量最可靠值时，就不能像等精度观测那样简单地取算术平均值。因为较可靠的观测值，应对最后结果产生较大的影响。

各不等精度观测值不同的可靠程度，可用一个数值来表示，称为各观测值的权，用P表示。“权”是权衡轻重的意思，观测值的精度较高，其可靠性也较强，则权也较大。例如，今对某一未知量进行了两组不等精度观测，每组内各观测值是等精度的。设第一组观测了四次，其观测值为l1，l2，l3，l4；第二组观测了两次，观测值为l′1，l′2，这些观测值的可靠程度分别都相同，则每组分别取算术平均值作为最后观测值，即

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两组观测值合并，相当于等精度观测了6次，故两组观测值的最后结果应为

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但对x1，x2来说，彼此是不等精度观测，如果用x1，x2来计算x，则上式计算实际值是

从不等精度的观点来看，测量值x1是四次观测值的平均值，x2是两次观测值的平均值，x1和x2的可靠性是不一样的，故可取4和2为其相应的权，以表示x1，x2可靠程度的差别。若取2和1为其相应的权，x的计算结果相同。由于上式分子、分母各乘同一常数，最后结果不变，因此，权是对各观测结果的可靠程度给予数值表示，只具有相对意义，并不反映中误差绝对值的大小。

一、权与中误差的关系

一定的中误差，对应着一个确定的误差分布，即对应着一定的观测条件。观测结果的中误差愈小，其结果愈可靠，权就愈大。因此，可以根据中误差来定义观测结果的权。设不等精度观测值的中误差分别为m1，m2，…，mn，则相应权可以用下面的式子来定义

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式中：μ——任意常数。

根据前面所举的例子，l1，l2，l3，l4和l′1，l′2是等精度观测值，设其观测值的中误差皆为m，则第一组算术平均值x1的中误差m1，可以根据误差传播定律，按（5-18）式求得

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同理，设第二组算术平均值x2的中误差为m2，则有

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根据权的定义，将m1和m2分别代入（5-20）式中，得

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式中：p——任意常数。

设 ，则x1，x2的权分别为

p1=2p2=1

若设μ²=m²，则x1，x2的权分别为

p1=4p2=2

因此，选择合适的μ值，可以使权变为便于计算的数值。

【例5-4】设对某一未知量进行了n次等精度观测，求算术平均值的权。

解：设一测回角度观测值的中误差为m，由（5-19）式，算术平均值的中误差mx=m

由权的定义并设μ²=m²，则

一测回观测值的权为p1=μ²/m²=1

算术平均值的权为

由上例可知，取一测回角度观测值之权为1，则n个测回观测值的算术平均值的权为n。故角度观测的权与其测回数成正比。在不等精度观测中引入“权”的概念，可以建立各观测值之间的精度比值，以便更合理地处理观测数据。例如，设一测回观测值的中误差为m，其权为p0，并设μ²=m²，则

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等于1的权称为单位权，而权等于1的中误差称为单位权中误差，一般用μ表示。对于中误差为mi的观测值（或观测值的函数），其相应的权为pi，即

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则困皮相应的中误差的另一表达式可写为

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二、加权算术平均值及其中误差

设对同一未知量进行了n次不等精度观测，观测值为l1，l2，…，ln，其相应的权为p1，p2，…，pn，则加权算术平均值x为不等精度观测值的最可靠值，其计算公式为

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可写为

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下面计算加权算术平均值的中误差mx。（5-22）式可写为

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根据轮尺宴误差传播定律，可得x的中误差为

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式中：m，m，…，m相应为l，l，…，l的中误差。由于12n12n μ²（μ为单位权中误差），故有

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下面推导μ的计算公式。由 可知，当n足够大时，mi可用相应观测值li的真误差Δi来代替，故

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由上式即可得单位权中误差μ的计算公式：

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代入（5-23）式中，可得

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（5-25）式即为用真误差计算加权算术平均值的中误差的表达式。

实用中常用观测值的改正数vi=x-li来计算中误差mx，与（5-11）式类似，有

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不等精度观测值的改正数vi，同样符合最小二乘原则。其数学表达式为

［pvv］min=p1（x-l1）²+p2（x-l2）²+…+pn（x-ln）²（5-28）

以x为自变量，对上式求一阶导数，并令其等于0，即

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上式整理可得到 ，此式即（5-22）式。

另外，不等精度观测值的改正值还满足下列条件：

［pv］=［p（x-l）］=［p］x-［pl］=0 （5-29）

（5-29）式可作计算校核用。

【例5-5】某水平角用DJ2经纬仪分别进行了三组观测，每组观测的测回数不同（见表5-4），试计算该水平角的加权平均值x及其中误差mx。

表5-4 加权平均值及其中误差的计算

表5-4 加权平均值及其中误差的计算

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复习题

1.名词解释：误差、系统误差、偶然误差、中误差、极限误差、相对中误差、误差传播定律、平均值中误差。

2.学习误差的目的何在？评定精度的标准有哪些？误差传播定律与精度评定有何关系？

3.系统误差与偶然误差有哪些本质上的不同？在处理偶然误差中，为何需要多余观测？它与偶然误差的特性有何关系？

4.三角形闭合差、双观测值之差为何是真误差？

5.为何观测误差超过极限误差（容许值）的观测值应重新观测？相对误差为何不能用于评定角度的精度？

6.按下列关系式写出函数式z

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mz=±mn

7.利用误差传播定律时，应注意哪些问题？

8.在误差计算时，倍函数与和函数的区别在何处？

9.在等精度观测中，为何产生了不等精度的观测值？如算术平均值的精度就不等于单一观测值的精度。

10.某直线段丈量了四次，其结果为：124.387，124.375，124.391，124.385。试计算其算术平均值、观测值中误差、算术平均值中误差和相对误差。

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