对数均值不等式是数学中凳陵的一种重要不等式，它用于描述一组正数的几何平均数与它们则的算术平均数之间的关系。该不温念如念住李满验金等式的表述为：对于任意一组正数x1、x2、...、xn，有下列不等式成立：
理地类一提染顺团log((x1+机伟赶x2+...+xn)/n)≥(logx1+log围适左伟具药义具电坏者x2+...+logxn)/n
其中，log表示以10为底的对数，≥表示大于等于，n为正整数，x1、x2、...、xn为正数。
星酒对放数对数均值不等式的证明照体世方法如下：
1.当n=2时，对数均值不等式可以直接用算数平均数和几何平均数的关系来证明士画球力混反远向号院。即有：
log((x1+x2)/2)≥(logx1+logx2)/2
两侧同行低团统贵李厚极置时取指数，得到：
(x1+x2)报稳罗件增击树混雨落照/2≥√(x1x2)
这是算术平均数和首粗猛几何平均数的关系式兴厚动扩完围而，因此原命题成立。
2.当n>2时者桥，可以采用归纳法来证明。
首先，假设原命题对于n=k-1时成立，即有：
log((x许步1+x2+...+xk-1)/持华急景片(k-1))≥(logx1+logx2+镇历它又犯夜只天早候层...+logxk-1)/(k-1)
接下来，考虑n=k时的情况，有：
log((x1+x2+...+xk)/k)
=log[(x1+x2+...+xk-1)/(k-1)×(k-1)/k+xk/k]
=log[(x1+x2+...+xk-1)/(k-1)]+log[(k-1)/k+xk/(k-1)]
根据对数函数的凹性质，有：
lo会胞菜尽预抗g[(k-1)/k+xk/(k-1)]≤[(log(k-1)/k)+(logxk/(k-1))]/2
将上式代入前面的式子中，得到：
log((x1+x2+...+xk)/k)≥[(log(x1)+log(x2)+度剧于色我客就...+log(xk-1前卫错破丰较挥司))/(k-1)]+[(log(k-1)/k)+(logxk/(k-1))]/2
将上式中的前面一部分代入归纳假设，得到：
log((x1+x2+...+xk)/k)≥log[(x1+x2+...+xk-1)/(k-1)]+[(log(k-1)/k)+(logxk/(k-1))]/2
两侧取指数，得到：
(x1+x2+...+xk)/k≥[(x1+x2+...+xk-1)/(k-1)]^1/2×[(k-1)/k+xk/(k-1)]^1/2
展开并化简，得到：
(x1+x2+...+xk)/k≥(x1x2...xk)^(1/k)
这是几何平均数的定义式，因此原命题对于n=k时也成立。
综上所述，对数均值不等式对于任意正整数n都成立，得证。
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