由条件,(x^2)^(n-5)*(1/x)^5=x => n=8
再令x=1,得a0+a1+……+a2n=2^n=2^8=256,
又令x=0,得a0=1,
两式相减,答案为255
例1. 已知 的展开式中,前三项系数的绝对值依次成等差数列。
(1)证明展开式中没有常数项;(2)求展开式中所有的有理项。
分析:依条件可得关于n的方程求出n,然后写出通项 ,讨论常数项和有理项对r的限制。
解:依题意,前三项系数的绝对值分别为1, 且
即
解得n=8或n=1(舍去)
(1)若 为常数项,当且仅当 ,即 ,而 ,这不可能,故展开式中没有常数项。
(2)若 为有理数,当且仅当 为整数。
,即展开式中的有理项共有三项,
评注:此类问题都由通项入手,依条件列出方程并结合题意讨论,但要注意常数项和有理项概念的区别。
二. 求二项式系数或展开式中的项的系数
展开式中二项式系数或展开式中的项的系数与通项有密切的联系,在通项公式中,一定要注意正、负,结合题意易获得。
例2. 求 展开式的:
(1)第6项的二项式系数;
(2)第3项的系数;
(3) 的系数。
分析:(1)由二项式定理及展开式的通项公式易得:第6项的二项式系数为 ;
(2) ,故第3项的系数为9;
(3) ,令 ,故r=3,所求系数是
评注:求二项式系数或展开式中的项的系数可直接由通项公式得出,但要注意这两个概念的区别。
三. 求相关元素
此类问题一般是根据已知条件列出等式,进而解得所要求的元素。
例3. 设 , 的展开式中 的系数为 ,则n=________。
分析: ,则 的系数为
展开整理得:
解得n=4
四. 求证整除、求余数
例4. 求证: 能被7整除。
分析: ,除 以外各项都能被7整除。
又
显然能被7整除,所以 能被7整除。
例5. 求 除以100的余数。
分析:
由此可见,除后两项外均能被100整除,而
故 除以100的余数为81。
评注:利用二项式定理解决有关多项式的整除、余数问题,关键是将所给多项式中的幂通过恒等变形变为二项式形式,使幂的底数的两项中一项含有除式(或除式的因式),而另一项的绝对值较小,然后展开证明、求解。
五. 求近似值
例6. 求 精确到0.01的近似值。
分析:先将0.95化为二项代数和1-0.05,再利用二项式定理计算。
解:
又 ,而以后各项的绝对值更小。
∴从第4项起,均可忽略不计。
评注:利用二项式定理求近似值,先将底数化为一个整数与一个绝对值较小的数的代数和,再利用二项式定理进行近似计算,关键是确定展开式中的保留项,使其满足近似计算的精确度
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