2008年普通高校招生全国统一考试（卷）
数学
1.的最小正周期为，其中，则▲。
【解读】本小题考查三角函数的周期公式。
答案10
2.一个骰子连续投2次，点数和为4的概率为▲。
【解读】本小题考查古典概型。基本事件共个，点数和为4的有、、共3个，故。
答案
3.表示为，则=▲。
【解读】本小题考查复数的除法运算，因此=1。
答案1
4.则的元素个数为▲。
【解读】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式。由得
因为，所以，因此，元素的个数为0。
答案0
5.的夹角为，则▲。
【解读】本小题考查向量的线形运算。
因为，所以=49。
因此7。
答案7
6.在平面直角坐标系中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随意投一点，则落入E中的概率为▲。
【解读】本小题考查古典概型。如图：区域D表示边长为4的正方形ABCD的部（含边界），区域E表示单位圆及其部，因此。
答案
7.某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了50位老人进行调查。下表是这50位老人日睡眠时间的频率分布表。
序号（i）分组（睡眠时间）组中值（）频数（人数）频率（）1[4,5)4.560.122[5,6)5.5100.203[6,7)6.5200.404[7,8)7.5100.205[8,9)8.540.08
在上述统计数据的分析中，一部分计算算法流程图，则输出的S的值是▲。
【解读】本小题考查统计与算法知识。
答案6.42
8.直线是曲线的一条切线，则实数▲。
【解读】本小题考查导数的几何意义、切线的求法。令得，故切点为，代入直线方程，得，所以。
答案
9.在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点坐标分别为，点在线段OA上（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点E，F，一同学已正确算出的方程：，请你求OF的方程：▲。
【解读】本小题考查直线方程的求法。画草图，由对称性可猜想。
事实上，由截距式可得直线，直线，两式相减得，显然直线AB与CP的交点F满足此方程，又原点O也满足此方程，故为所求的直线OF的方程。
答案。
10.将全体正整数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第行从左向右的第3个数为▲。
【解读】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式。前行共用了个数，因此第行从左向右的第3个数是全体正整数中的第个，即为。
答案
11.的最小值为▲。
【解读】本小题考查二元基本不等式的运用。由得，代入得，当且仅当时取“=”。
答案3。
12.在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率=▲。
【解读】本小题考查椭圆的基本量和直线与圆相切的位置关系。如图，切线互相垂直，又，所以是等腰直角三角形，故，解得。
答案
13.若，则的最大值▲。
【解读】本小题考查三角形面积公式及函数思想。
因为AB=2（定长），可以以AB所在的直线为轴，其中垂线为轴建立直角坐标系，则，设，由可得，化简得，即C在以（3，0）为圆心，为半径的圆上运动。又。
答案
14.对于总有成立，则=▲。
【解读】本小题考查函数单调性及恒成立问题的综合运用,体现了分类讨论的数学思想。
要使恒成立，只要在上恒成立。
当时，所以，不符合题意，舍去。
当时，即单调递减，舍去。
当时
1若时在和上单调递增，
在上单调递减。
所以
2当时在上单调递减，
不符合题意，舍去。综上可知a=4.
答案4。
15.如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为。
（1）
求的值；（2）求的值。
【解读】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式。由条件得，为锐角，
故。同理可得，
因此。
（1）。
（2），
从而。
16．在四面体ABCD中，CB=CD，且E，F分别是AB，BD的中点，
求证（I）直线；
（II）。
证明：（I）E，F分别为AB，BD的中点
（II）
又，
所以
17．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A，B，及CD的中点P处，已知km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A，B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO，BO，OP，设排污管道的总长为ykm。
（I）按下列要求写出函数关系式：
1设，将表示成的函数关系式；
2设，将表示成的函数关系式。
（II）请你选用（I）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排水管道总长度最短。
【解读】本小题考查函数最值的应用。
（I）①由条件可知PQ垂直平分AB，则
故，又，所以
②，则，所以，
所以所求的函数关系式为。
（II）选择函数模型①。
令得，又，所以。
当时，是的减函数；时，是的增函数。
所以当时。当P位于线段AB的中垂线上且距离AB边处。
18.设平面直角坐标系中，设二次函数的图象与坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C。
（1）数的取值围；
（2）求圆的方程；
（3）问圆是否经过某定点（其坐标与无关）你的结论。
【解读】本小题考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法。
（1）
（2）设所求圆的方程为。
令得
又时，从而。
所以圆的方程为。
（3）整理为，过曲线
与的交点，即过定点与。
19.（I）设是各项均不为零的等差数列，且公差，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：
1当时，求的数值；②求的所有可能值；
（II）求证：对于一个给定的正整数，存在一个各项及公差都不为零的等差数列，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列。
【解读】本小题考查等差数列与等比数列的综合运用。
（I）①当时，中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则。
若删去，则有，即，化简得；
若删去，则有，即，化简得。
综上可知。
2当时，中同样不可能删去首项或末项。
若删去，则有，即，化简得；
若删去，则有，即，化简得，舍去；
若删去，则有，即，化简得。
当时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列中，由于不能删去首项和末项，若删去，则必有，这与矛盾；同样若删去，也有，这与矛盾；若删去中的任意一个，则必有，这与矛盾。综上可知。
（3）略
20.若为常数，且
(I)求对所有的实数成立的充要条件（用表示）；
(II)设为两实数，且，若，求证：在区间上的单调增区间的长度和为（闭区间的长度定义为）。
【解读】本小题考查充要条件、指数函数与绝对值、不等式的综合运用。
（I）恒成立
若，则，显然成立；若，记
当时，
所以，故只需；
当时，
所以，故只需。
（II）如果，则的图象关于直线对称，
因为，所以区间关于直线对称。
因为减区间为，增区间为，所以单调增区间的长度和为。
如果，结论的直观性很强。
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