1.基本原理
微量元素在各种天然物质中的含量，一般是服从对数正态分布或正态分布的，这就是应用数理统计方法确定背景值和异常下限的理论根据。因此，只有确认测区内元素含量是属于或近似于对数正态分布或正态分布时，才能用数理统计方法来确定背累值和异常下限。
根据背景值的概念，当元素含量是属于或近似于对数正态分布或正态分布时，背景值就可用样本的几何平均值(xg)或算术平均值(x)，众数(Mo)，中位数(Me)来估计。因为几何平均值或算术平均值受极大值和极小值的影响较大，虽然众数和中位数不受极大值和极小值的影响，但当数据集中趋势不明显时，众数就求不出来，并且也随数据分组不同而异。因此，在估计背景值时，一定要考虑样本的特征，选出其最佳估计值。当含量服从对数正态分布时，计算公式为
地球化学找矿方法
地球化学找矿方法
式中: TL为对数异常下限; σ 为元素含量的对数标准离差; Co为背景值; K 为常数。
当元素含量服从正态分布时，计算公式为
地球化学找矿方法
地球化学找矿方法
K 值一般可定为 1 ～ 3。K 值愈小，异常值出现的可能性愈大; K 值愈大，异常值出现的可能性愈小。例如，当 K =1 时，异常出现的概率为 15.9% ; 当 K =2 时，异常出现的概率为 2.3% ; 而当 K =3 时，异常出现的概率为 0.1% ，等等。K 值的选取主要是取决于测区内的成矿地质条件，还要考虑工作的目的和任务等。当测区内成矿地质条件良好，K 值应取小一些; 当成矿地质条件不好，K 值就要取大一些; 在初步普查阶段，主要是怕漏掉有找矿意义的异常，K 值要取小一些; 在详查阶段，主要是为避免混入非矿致异常，K 值就要取大一些。
2.常用方法
现以下面的实例来介绍确定背景值和异常下限的具体方法。在某铜矿区外围，采集了100 个土壤样品，Cu 分析结果及其对数值的统计结果见表7-1。如果 Cu 含量服从对数正态分布，试求出该区的背景值和异常下限。
表7-1 Cu 分析结果及其对数结果
表7-1 Cu 分析结果及其对数结果
(1)计算法
直接计算法
利用分析结果的对数值，直接求出其平均值:
地球化学找矿方法
地球化学找矿方法
式中: m 为不同分析结果的数目。
本例的计算结果如下:
地球化学找矿方法
地球化学找矿方法
简化计算法
这是为了突出地反映数据频率分布规律和简化运算时的计算方法。一般是按下列步骤和方法进行运算:
第一步，将分析结果的对数值分成若干组。分组时，首先要根据数据本身的性质、变化范围和样本容量，以及样品分析和计算的精度，确定组数(n)和组距(l)。组数不宜过少或过多，一般以 5 ～7 组为宜，最多不能超过 15 ～20 组。要求每组平均不得少于 5 个数据，组距一般是在 lg(l/10－ 6)=(0.1 ～ 0.5)之间。其次是确定分组的下界和上界，下界要小于数据中最低值; 上界要大于数据中最高值。上界与下界之差等于组距与组数之积。另外，确定上、下界时，应尽量使数据避开分组点的数值。
第二步，将分组后的数据统计结果填入计算表内，其格式和内容见表7-2。
表7-2 简化计算法分组后的统计结果
表7-2 简化计算法分组后的统计结果
第三步，利用下列公式求出分析结果对数值的平均值 和对数标准离差(σ):
地球化学找矿方法
地球化学找矿方法
本例计算结果为:
地球化学找矿方法
地球化学找矿方法
第四步，求背景值和异常下限:
地球化学找矿方法
地球化学找矿方法
TL= lg xg+ 2σ = 0.906 + 2 × 0.205 = 1.316
查反对数表可得(10－ 6): Co= 8.05; T = 20.70。
(2)图解法
第一步，将数据分组。
第二步，将分组后的数据统计结果填入计算表内，其格式和内容见表7-3。
表7-3 图解法分组后的数据统计结果
表7-3 图解法分组后的数据统计结果
第三步，编绘频率分布直方图，并以其绘制频率密度曲线。
取一平面直角坐标系，以横坐标表示元素含量对数值(lgxi)，并按此例标出下界、各分组点和上界。再以组距为底边，画一系列矩形，以矩形面积表示各组的频率(全部矩形面积之和为 100%)，就得到频率分布直方图，再以其绘出频率密度曲线，如图 7 8所示。纵坐标表示的是频率分布密度，也就是频率与组距的比值。
第四步，利用直方图求出众数对数值，再利用频率密度曲线求出含量对数标准离差。在直方图的最高的矩形内，连接 AC 和 BD，二者的交点所对应的横坐标就是众数对数值，再取频率密度曲线极大值(p)的 0.6 倍，作一平行横坐标轴的直线，其与频率密度曲线左翼的交点所对应的横坐标为 lgMo－ σ，而与右翼的交点所对应的横坐标为 lgMo+ σ。则可求出含量对数标准离差。
本例，求得 lgMo= 0.91，σ = 0.20。
第五步，求出背景值和异常下限:
取 Co= Mo，K =2，则
TL= lgCo+ Kσ = 0.91 + 2 × 0.2 = 1.31
查反对数表可得(10－ 6): Co= 8.13; T = 20.42。
图7-8 众数(Mo)与标准离差(σ)图解法示意图
图7-8 众数(Mo)与标准离差(σ)图解法示意图
除上述图解法外，还可以利用累积频率图求出中位数对数值和含量对数标准离差，以中位数估计背景值，再求出异常下限。其步骤是: 第一步和第二步同上。第三步是绘制累积频率图。取一平面直角坐标系，以横坐标表示含量对数值，以纵坐标表示累积频率。再用组上限为横坐标，用该组对应的累积频率为纵坐标，依次绘出各坐标点的位置，最后用圆滑曲线将各点连接起来，就得到频率分布曲线(见图7-9)。如果采用概率格纸按上述方法绘图，则频率分布曲线展为直线(见图7-10)。第四步是利用频率分布曲线求出lgMe和 σ。频率分布曲线上累积频率为 50% 的点，所对应的横坐标为 lgMe，而累积频率为 15.9% ，84.1% 的点，所对应的横坐标为 lgMe－ σ，lgMe+ σ。故可求出 σ。在图7 9和图 7 10 上求得:
lgMe= 0.91; σ = 0.20。第五步是求出背景值和异常下限。本例求得(10－ 6):
Co= 8.13; T = 20.42。
图7-9 中位数与标准离差图解法示意图
图7-9 中位数与标准离差图解法示意图
图7-10 中位数与标准离差图解法示意图
图7-10 中位数与标准离差图解法示意图
标签：数理统计
