世界十大数学难题是人类攀登高峰的追求极点，是数学领域的皇冠！其中闻名遐迩的所谓“七大数学难题”，是由美国克雷数学研究所(Clay Mathematics Institute, CMI)提出的。2000年5月24日，克雷数学研究所宣布，该机构收集了数学历史上极其重要的七道经典难题，而解答出其中任何一题的第一个人将获得100万美元奖金。
因此，这七道题也被称为“七大数学难题”。这七道题分别是P与NP问题（NP完全问题）、霍奇猜想、庞加莱猜想、黎曼假设、杨－米尔斯存在性和质量缺口假设（杨－米尔斯理论）、纳维叶－斯托克斯方程（纳卫尔－斯托可方程）、贝赫和斯维讷通－戴尔猜想（BSD猜想）。以下列举了更全面的所有的世界十大数学难题分别介绍如下：
一、P(多项式时间)问题对NP(非确定多项式时间)问题
在周末的一个晚上，若你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人曾经向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不出一秒钟，你就会向那里扫视，并发现你的主人是正确的。
但是，假如没有这样的暗示，你势必环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。生成问题的一个解，通常比验证一个给定的解时间花费要多很多。这是一般现象一个例子。相类似的问题是：假如某人告诉你，数13，717，421可以写成两个较小的数的乘积，你或者不知道是否应该相信他，但如果他告诉你它可以因式分解为3607乘上3803，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是正确的。
人们发现，所有的完全多项式非确定性问题，都可以转换为一类叫做满足性问题的逻辑运算问题。既然这类问题的所有可能答案，都可以在多项式时间内计算，人们于是就会猜想是否这类问题存在一个确定性算法，可以在多项式时间内，直接算出或是搜寻出正确的答案呢?这就是非常著名的NP=P?的猜想。
提出人： P对NP问题，曾经是克雷数学研究所高额悬赏的七个千禧年难题之一，同时也是计算机科学领域的最大难题，因为关系到计算机完成一项任务的速度到底有多快。P对NP问题是Steve Cook于1971年首次提出。
"P/NP问题"：这里的P指多项式时间(Polynomial)，一个复杂问题如果能在多项式时间内解决，那么它便被称为P问题，这意味着计算机可以在有限时间内完成计算;NP指非确定性多项式时间(nondeterministic polynomial)，一个复杂问题不能确定在多项式时间内解决，假如NP问题能找到算法使其在多项式时间内解决，也就是证得了P=NP。比NP问题更难的则是NP完全和NP-hard，比如围棋就是一个NP-hard问题。2010年8月7日，来自惠普实验室的科学家Vinay Deolalikar声称已经解决了"P/NP问题" ，并公开了证明文件。
难题解决： 美国惠普实验室的数学家维奈·迪奥拉里卡围绕一个众所周知的NP问题进行论证，并且给出了P≠NP的答案。这就是布尔可满足性问题(Boolean Satisfiability Problem)，即询问一组逻辑陈述是否能同时成立或者互相矛盾。迪奥拉里卡声曾经称，他已经证明，任何程序都无法迅速解答这个问题，因此，它不是一个P问题。
如果迪奥拉里卡的答案成立，说明P问题和NP问题是不同的两类问题，同时也意味着计算机处理问题的能力有限，很多任务的复杂性从根本上来说也许是无法简化的。
对于有些NP问题，包括因数分解，P≠NP的结果并没有明确表示它们是不能被快速解答的;但对于其子集NP完全问题，却注定了其无法很快得到解决。其中一个著名的例子就是旅行商问题(Travelling Salesman Problem)，即寻找从一个城市到另一个城市的最短路线，答案非常容易验证，不过，如果P≠NP，就没有计算机程序可以迅速给出这个答案。迪奥拉里卡的论文草稿已经得到了复杂性理论家的认可，但随后公布的论文终稿还将接受严格的审查。
二、霍奇(Hodge)猜想
提出人： 霍奇猜想曾经是代数几何的一个重大的悬而未决的难题。它是由威廉·瓦伦斯·道格拉斯·霍奇提出，它是关于非奇异复代数簇的代数拓扑和它由定义子簇的多项式方程所表述的几何的关联的猜想。属于世界七大数学难题之一。
值得一提的是，霍奇猜想与费马大定理和黎曼猜想成为广义相对论和量子力学融合的m理论结构几何拓扑载体和工具。而黎曼假设、庞加莱猜想、霍奇猜想、贝赫和斯维讷通-戴尔猜想、纳维叶―斯托克斯方程、杨―米尔理论、P问题对NP问题一直被世界称为21世纪七大数学难题。2000年5月，美国的克莱数学促进会为每道题悬赏百万美元求解。
霍奇猜想是关于非奇异复代数簇的代数拓扑和它由定义子簇的多项式方程所表述的几何的关联的猜想。它在霍奇的著述的一个结果中出现，他在1930至1940年间通过包含额外的结构丰富了德拉姆上同调的表述，这种结构出现于代数簇的情况(但不仅限于这种情况)。
苏格兰数学家威廉·霍奇: 怎么能知道哪些类的同源性在任何给定歧管，相当于一个代数周期? 无疑这是一个伟大的想法，仅仅是他不能证明。 我们有一个小的平滑的"空间"(在每个邻域类似于欧几里德空间，但在更大的规模上，"空间"是不同的)，这是由一群方程描述，使得这个空间具有均匀的维度。 然后我们获取基本的"拓扑"信息，并将其分解成更小的几何部分(由数字对标记)。几何部分内的理性东西被称为"Hodge循环"。 每个较小的几何部分是称为代数循环的几何部分的组合。 基本上我们有一个"桩"。我们仔细看看它，看看它是由许多"切碎的木材"组成。"切碎的木材"里面有"twigs"(霍奇循环)。霍奇猜想曾经断言，对于成堆的切碎的木材，树枝实际上是被称为原子(代数循环)的几何部分的组合。
难题解决： 这个叫霍奇猜想的问题 ，假如用通俗的话说，就是"再好再复杂的一座宫殿，都可以由一堆积木垒成"。如果用文人的语言说就是: 任何一个形状的几何图形，不管它有多复杂(只要你能想得出来)，它都可以用一堆简单的几何图形拼成。而在实际工作中，我们无法在二维平面的纸上绘画出来一种复杂的多维图形，霍奇猜想就是把复杂的拓扑图形分拆成为一个个构件，我们只要按照规则安装就可以理解设计者的思想。霍奇猜想提出不到100年，至今有了第一个例子 。
霍奇(Hodge)猜想， 二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广;最终导致一些强有力的工具，让数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。
霍奇猜想曾经断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。
三、庞加莱猜想
提出人 ：庞加莱猜想是法国数学家庞加莱提出的猜想，曾经是克雷数学研究所悬赏的七个千禧年大奖难题之一。其中三维的情形被俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼于2003年左右证明。2006年，数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。庞加莱猜想是一个拓扑学中带有基本意义的命题，它将有助于人类更好地研究三维空间，其带来的结果将会加深人们对流形性质的认识。
亨利·庞加莱(Henri Poincaré)，法国数学家、天体力学家、数学物理学家、科学哲学家。他1854年4月29日生于法国南锡，1912年7月17日卒于巴黎。亨利·庞加莱的成就不在于他解决了多少问题，而在于他曾经提出过许多具有开创意义、奠基性的大问题。庞加莱猜想，只是其中的一个。
世界上一位数学史家曾经如此形容1854年出生的亨利·庞加莱(Henri Poincare): "有些人仿佛生下来就是为了证明天才的存在似的，每次看到亨利，我就会听见这个恼人的声音在我耳边响起。"
事实上，1904年，法国数学家亨利·庞加莱在提出了一个拓扑学的猜想: "任何一个单连通的，封闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。" 如果简单的说，一个闭的三维流形就是一个没有边界的三维空间;单连通就是这个空间中每条封闭的曲线都可以连续的收缩成一点，或者说在一个封闭的三维空间,假如每条封闭的曲线都能收缩成一点,这个空间就一定是一个三维圆球。后来，这个猜想被推广至三维以上空间，被称为"高维庞加莱猜想"。
假如你认为这个说法太抽象的话，下面不妨做这样一个想象: 我们想象这样一个房子，这个空间是一个球。或者想象一只巨大的足球，里面充满了气，我们钻到里面看，这就是一个球形的房子。
我们不妨再假设这个球形的房子墙壁是用钢做的，十分结实，没有窗户没有门，我们在这样的球形房子里。拿一个气球来，带到这个球形的房子里。随便什么气球都可以。这个气球并不是瘪的，而是已经吹成某一个形状，什么形状都可以(对形状也有一定要求)。但是这个气球，我们还可以继续吹大它，而且假设气球的皮特别结实，肯定不会被吹破。还要假设这个气球的皮是无限薄的。
接着，我们继续吹大这个气球，一直吹。吹到最后会怎么样呢?庞加莱先生猜想，吹到最后，一定是气球表面和整个球形房子的墙壁表面紧紧地贴住，中间没有缝隙。
我们还可以换一种方法想想: 假如我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是"单连通的"，而轮胎面不是。
看起来这是不是非常容易想明显? 事实上，数学可不是"随便想想"就能证明一个猜想的，这需要严密的数学推理和逻辑推理。一个多世纪以来，无数的科学家为了证明它，并且绞尽脑汁、甚至于倾其一生还是无果而终。
难题解决 ：格里戈里·佩雷尔曼在花了8年时间研究这个差不多足有一个世纪的数学难题后，在2002年11月和2003年7月之间，将3份关键论文的手稿粘贴到arXiv.org这个专门刊登数学和物理预印本论文的网站上，并用电邮通知了几位数学家，声称自己证明了几何化猜想。
到2005年10月，数位专家宣布验证了该证明，一致的赞成意见几乎已经达成： "如果有人对我解决这个问题的方法感兴趣，都在那儿呢-让他们去看吧。"佩雷尔曼说，"我已经发表了我所有的算法，我能提供给公众的就是这些了。"
佩雷尔曼的做法让克雷数学研究所大伤脑筋。因为按照这个研究所的规矩，宣称破解了猜想的人需在正规杂志上发表并得到专家的认可后，才能获得100万美元的奖金。显然，佩雷尔曼并不想把这100万美金放到他那很微薄的收入中去。2006年，在佩雷尔曼公布他的3篇文章中的第一篇之后近4年，专家们终于达成了共识:佩雷尔曼解决了这个学科最令人肃然起敬的问题之一。但是猜想的解决却触发了一场风波。
对于佩雷尔曼，很多人知之甚少。他是一位伟大的数学天才，出生于1966年6月13日，他的天分使他很早就开始专攻高等数学和物理。16岁时，他曾经以优异的成绩在1982年举行的国际数学奥林匹克竞赛中摘得金牌。另外，他还是一名天才的小提琴家，并且桌球打得也相当出色。
从圣彼得堡大学获得博士学位后，佩雷尔曼一直在俄罗斯科学院圣彼得堡斯捷克洛夫数学研究所工作。上个世纪80年代末，他曾经到美国多所大学做博士后研究。之后又在斯捷克洛夫数学研究所，继续他的宇宙形状证明工作。
证明庞加莱猜想关键作用让佩雷尔曼很快曝光于世界，但他似乎并不喜欢与媒体打交道。据有人介绍说，有一个记者想给他拍照，被他大声制止; 而对于大名鼎鼎的《自然》《科学》采访，他同样不屑一顾。
"我认为我所说的任何事情都不可能引起公众的一丝一毫的兴趣。"佩雷尔曼说，"我不愿意说是因为我很看重自己的隐私，或者说我就是想隐瞒我做的任何事情。这里没有顶级机密，我只不过认为公众对我没有兴趣。"他坚持自己不值得如此的关注，并表示对飞来的横财没有丝毫的兴趣。
国际数学家联盟主席John Ball曾秘密拜访佩雷尔曼，他的唯一目的是说服佩雷尔曼接受将在8月份国际数学家大会上颁发的菲尔兹奖。无疑这可是全球数学界的最高荣誉，此前，全球共有44位数学家获此殊荣，世界上还没有人拒绝接受这个荣誉。但是，面对Ball教授两天共十个小时的劝说，佩雷尔曼的回答只是"我拒绝。"他解释说:"如果我的证明是正确的，这种方式的承认是不必要的。"
四、黎曼假设
提出人 ：黎曼猜想是关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想，由数学家黎曼于1859年提出。希尔伯特在第二届国际数学家大会上提出了20世纪数学家应当努力解决的23个数学问题，被认为是20世纪数学的制高点，其中便包括黎曼假设。现今克雷数学研究所悬赏的世界七大数学难题中也包括黎曼猜想。
与费尔马猜想时相隔三个半世纪以上才被解决，哥德巴赫猜想经历了两个半世纪以上屹立不倒相比，黎曼猜想只有一个半世纪的纪录还差很远，但它在数学上的重要性要远超过这两个知名度更高的猜想。
1932年，德国数学家C.L.Siegel整理的黎曼遗稿中给出了黎曼猜想的证明。文章的作者根据手稿中的一个结论性公式，直接推导出来ζ(s)函数在矩形区域的零点全部落在临界线上。
2018年9月24日，德国海德堡，著名数学家阿蒂亚爵士（Michael Atiyah）在演讲时表示，自己已经证明了黎曼猜想。
黎曼猜想是黎曼1859年提出的，这位数学家于1826年出生在德国的布列斯伦茨小镇。1859年，黎曼被选为了柏林科学院的通信院士。作为对这一崇高荣誉的回报，他向柏林科学院提交了一篇题为"论小于给定数值的素数个数"的论文。这篇仅仅有短短八页的论文最终成为黎曼猜想的"诞生地"。
事实上，黎曼那篇论文所研究的是一个数学家们长期以来就十分感兴趣的问题：即素数的分布。素数是像2、5、19、137那样除了1和自身以外不能被其他正整数整除的数。这些数在数论研究中有着极大的重要性，因为所有大于1的正整数都可以表示成它们的乘积。从某种意义上讲，它们在数论中的地位类似于物理世界中用以构筑万物的原子。素数的定义简单得可以在中学甚至小学课上进行讲授，但它们的分布却奥妙得异乎寻常，世界上的数学家们曾经付出了极大的精力，迄今为止却仍然未能彻底了解其中。
黎曼论文的一个重大的成果，就是发现了素数分布的奥秘完全蕴藏在一个特殊的函数之中，尤其是使那个函数取值为零的一系列特殊的点对素数分布的细致规律有着决定性的影响。那个函数如今被称为黎曼ζ函数，那一系列特殊的点则被称为黎曼ζ函数的非平凡零点。
黎曼的文章的成果尽管重大，但文字却十分简练，甚至简练得有些过分，因为它包括了很多"证明从略"的地方。而最要命的是，"证明从略"原本是应该用来省略那些显而易见的证明的，黎曼的论文却并非如此，他那些"证明从略"的地方有些却花费了后世数学家们几十年的努力才最终得以补全，有些甚至直到今天仍然是空白。但黎曼的论文在为数不少的"证明从略"之外，却引人注目地包含了一个他明确承认了自己无法证明的命题，那个命题就是黎曼猜想。 黎曼猜想自1859年"诞生"以来，已过了一百五十多年，在这期间，它就像一座高大的山峰，吸引了世界无数数学家前去攀登，但却谁也没能成功登顶。
难题解决： 黎曼猜想由德国数学家黎曼(Bernard)于1859年提出，其中涉及了素数的分布，被认为是世界上最困难的数学题之一。荷兰三位数学家J.van de Lune，H.J.Riele te及D.T.Winter利用电子计算机来检验黎曼的假设，他们对最初的二亿个齐打函数的零点检验，证明黎曼的假设是对的，他们在1981年宣布他们的结果，他们还继续用电子计算机检验底下的一些零点。
1982年11月苏联数学家马帝叶雪维奇在苏联杂志《Kibernetika》宣布，他利用电脑检验一个与黎曼猜想有关的数学问题，可以证明该问题是正确的，从而反过来可以支持黎曼的猜想很可能是正确的。
1975年美国麻省理工学院的莱文森在他患癌症去世前证明了No(T)>0.3474N(T)。1980年中国数学家楼世拓、姚琦对莱文森的工作有一点改进，他们证明了No(T)>0.35N(T)。1932年C.L.Siegel发表的文章中 ，有下面这样一个公式:
文章的作者根据这个公式的几何意义以及cos函数的零点性质，直接推导出来No(T)=N(T)，即证明了区域内的零点全部落在临界线上。
C.L.Siegel从黎曼的遗稿中共整理出来四个公式，其中有三个公式在文献和教科书中经常出现 ，唯独上面这个公式，80多年来很少有文献提到它，就连C.L.Siegel 本人对于这个公式的作用也大惑不解。实际上，只要跳出解析数论来看黎曼手稿，就能清楚地看到，黎曼用复分析的几何思想严格的证明了现代所说的"黎曼猜想"。这也许是数学史上最大的冤案。
2016年11月17日，尼日利亚教授奥派耶米 伊诺克(Opeyemi Enoch)成功解决已存在156年的数学难题——黎曼猜想，获得100万美元(约合人民币630万元)的奖金。
2000年，美国克莱数学研究所(Clay Mathematics Institute)将黎曼猜想列为七大千年数学难题之一。2018年9月，迈克尔·阿蒂亚声明证明黎曼猜想，将于9月24日海德堡获奖者论坛上宣讲，迈克尔·阿蒂亚贴出了他证明黎曼假设（猜想）的预印本
2018年9月24日，德国海德堡，著名数学家阿蒂亚爵士（Michael Atiyah）在演讲时表示，自己已证明了黎曼猜想。利用todd函数反证法，证明了所有零点都在临界线上。他公开了这篇研究论文，总共5页。在论文中，借助量子力学中的无量纲常数α（fine structure constant），阿蒂亚声称解决了复数域上的黎曼猜想。
阿蒂亚说他希望理解量子力学中的无量纲常数——精细结构常数。因为精细结构常数大约等于1/137，刻画的是电磁相互作用的强度。比如在氢原子中，我们大致可以说电子绕原子核的速度是1/137再乘上光速。阿蒂亚指出，理解精细结构常数只是最初的动机。在这个过程中发展出来的数学方法却可以理解黎曼猜想。
在论文的最后，阿蒂亚说，精细结构常数与黎曼猜想，用他的方法，已经被解决了。当然他只解决了复数域上的黎曼猜想，有理数域上的黎曼猜想，他还需要研究。另外，随着黎曼猜想被解决，阿蒂亚认为，bsd猜想也有希望被解决。当然，现在阿蒂亚认为，引力常数G是一个更难理解的常数。在黎曼猜想中，我们看到非平凡零点的实部都等于1/2，这是一个让人很意外的常数。虽然我们可以从一个简单的对称关系中看出为什么会出现1/2。
五、杨-米尔斯存在性和质量缺口
提出人： 《杨米尔斯的存在性和质量缺口》是世界七大数学难题之一，问题起源于物理学中的杨·米尔斯理论。该问题的正式表述是:证明对任何紧的、单的规范群，四维欧几里得空间中的杨米尔斯方程组有一个预言存在质量缺口的解。该问题的解决将阐明物理学家尚未完全理解的自然界的基本方面。
量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大约半个世纪以前，杨振宁和米尔斯发现，量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。基于杨-米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实:布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和筑波。尽管如此，他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。特别是，被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于"夸克"的不可见性的解释中应用的"质量缺口"假设，从来没有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。
难题解决 ：2013年4月17日，韩国建国大学宣布，该校赵庸民教授数学(物理学)研究组破解出了世界七大数学难题中的"杨-米尔斯存在性和质量缺口假设(Yang-Mills and Mass Gap)"(杨-米尔斯理论)一题。赵庸民教授是粒子物理学理论、宇宙论以及统一场领域的理论物理学家。
韩国数学家破解出的世界“七大数学难题(Millennium Problem)”中的一题。该问题悬赏金额为100万美元。赵庸民教授是粒子物理学理论、宇宙论以及统一场领域的理论物理学家。据悉，赵教授的算法虽然已刊登在国际权威物理学期刊上，却还没有得到克雷数学研究所的认证。当时克雷数学研究所要通过最长两年的时间来证明这个解题过程是否正确。
六、纳维叶-斯托克斯方程的存在性与光滑性
提出人：纳维-斯托克斯方程(英文名:Navier-Stokes equations)，描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程。简称N-S方程。粘性流体的运动方程首先由Navier在1827年提出，只考虑了不可压缩流体的流动。Poisson在1831年提出可压缩流体的运动方程。
纳维斯托克斯方程，事实上是牛顿第二定律在不可压缩粘性流动中的表达式，此方程是法国科学家C.L.M.H.纳维于1821年和英国物里学家G.G.斯托克斯于1845年分别建立的，故名纳维斯托克斯方程。
纳维斯托克斯方程可以运用在解释粘性不可压缩流体流动的普遍规律，因而在流体力学中具有特殊意义，被誉为世界七大数学难题之一，深受物理学家和数学学家的追捧和沉迷。Saint-Venant在1845年，Stokes在1845年独立提出粘性系数为一常数的形式，现在都称为Navier-Stokes方程，简称N-S方程。在直角坐标系中，其矢量形式为= -p+ρF+μΔv。
后人在此基础上又导出适用于可压缩流体的N-S方程。以应力表示的运动方程，需补充方程才能求解。N-S方程反映了粘性流体(又称真实流体)流动的基本力学规律，在流体力学中有十分重要的意义。它是一个非线性偏微分方程，求解非常困难和复杂，在求解思路或技术没有进一步发展和突破前只有在某些十分简单的特例流动问题上才能求得其精确解;但在部分情况下，可以简化方程而得到近似解。在计算机问世和迅速发展以来，N-S方程的数值求解才有了较大的发展。
在解释纳维-斯托克斯方程的细节之前，首先，必须对流体作几个假设。第一个是流体是连续的。这强调它不包含形成内部的空隙，例如，溶解的气体气泡，而且它不包含雾状粒子的聚合。另一个必要的假设是所有涉及到的场，全部是可微的，例如压强 P ，速度 v ，密度 ρ ，温度 Q ，等等。该方程从质量，动量守恒，和能量守恒的基本原理导出。对此，有时必须考虑一个有限的任意体积，称为控制体积，在其上这些原理很容易应用。该有限体积记为 ω ，而其表面记为 ω 。该控制体积可以在空间中固定，也可能随着流体运动。
七、贝赫和斯维讷通-戴尔猜想
提出人： 贝赫和斯维讷通-戴尔猜想称为“千僖难题”之七，指的是对有理数域上的任一椭圆曲线, 其L函数在1的化零阶等于此曲线上有理点构成的Abel群的秩。
数学家总是被诸如x^2+y^2=z^2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答，但是对于更为复杂的方程，这就变得极为困难。正如马蒂雅谢维奇(Yu.V.Matiyasevich)指出，希尔伯特第十问题是不可解的，即不存在一般的方程来确定这样的方法是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时，贝赫和斯维讷通－戴尔猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态。特别是，这个有趣的猜想认为，如果z(1)等于0,那么存在无限多个有理点(解)，相反，如果z(1)不等于0,那么只存在有限多个这样的点。
值得一提的是，数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。作为人类思维的表达形式，数学反映了人们探寻真理的意志、缜密周详的逻辑以及对完美境界的追求。因此，数学成了一切自然科学的基础。
在国际象棋的博弈中，被认为威力最大的棋子就是皇后，甚至国王也远逊于皇后的特权。因此，著名的德国数学家高斯（Gauss）盛赞“数学是科学的皇后”。在数学研究的所有领域中，数论则被认为是皇后的皇冠。
在数论的王国里，有无数的瑰宝已经找到其心仪的主人。比如陈景润因为证明“1+2”，成为哥德巴赫猜想的明星。再比如英国数学家怀尔斯（Wiles）在1994年彻底解决了困扰世人358年的费马 （Fermat）猜想 。而张益唐则在破译数学史上最古老的“孪生素数猜想”中迈出了至关重要的一步。这些理论的巨大成就，已经极大地拓展了数学家的视野，为攀登人类智慧的巅峰做出巨大贡献。虽然如此，依然有大量绚丽的瑰宝还在等待着后人去发掘。现如今，在数论领域叱咤风云的黎曼猜想和伯奇和斯温纳顿- 戴尔猜想则延续着数论的辉煌和挑战。尤其是伯奇和斯温纳顿- 戴尔猜想，它和费马大定理一样，寄托着人类对自然数无穷无尽的好奇心和追求。
八、费尔马大定理
提出人 ：费马大定理，又被称为“费马最后的定理”，由法国数学家费马提出。它断言当整数n >2时，关于x, y, z的方程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解。被提出后，经历多人猜想辩证，历经300多年，最终在1995年被英国数学家安德鲁·怀尔斯证明。
费尔马曾经在阅读丢番图（Diophatus）《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法 ，可惜这里空白的地方太小，写不下。”（拉丁文原文: "Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet."）毕竟费马没有写下证明，而他的其它猜想对数学贡献良多，由此激发了许多数学家对这一猜想的兴趣。数学家们的有关工作丰富了数论的内容，推动了数论的发展。
对很多不同的n，费马定理早被证明了。其中欧拉用作假法证明了n=3的情形，用的是唯一因子分解定理；为什么说他作假呢，因为无理数公式中不可能有1的公因数存在，你用大于1的素数定理来证明费马大定理是没有意义的，费马自己证明了n=4的情形；1825年，狄利克雷和勒让德用作假法证明了n=5的情形，用的是欧拉所用方法的延伸，但避开了唯一因子分解定理；
1839年，法国数学家拉梅用作假法证明了n=7的情形，他的证明使用了跟7本身结合的很紧密的巧妙工具，只是难以推广到n=11的情形；于是，他又在1847年提出了“分圆整数”法来证明，但没有成功。对于所有小于100的素指数n，库默尔在1844年提出了“作假理想数”概念，他用作假证明法证明了：对于所有小于100的素指数n，费马大定理成立，此一研究告一阶段。
但对一般情况，在猜想提出的头二百年内数学家们仍对费马大定理一筹莫展。直到350多年后的1980年，中国数学家毛桂成给出了费尔马的绝妙证明方法后，费马大定理才算完全证明。
难题解决： 1993年6月，英国数学家安德鲁·怀尔斯宣称作假证明：对有理数域上的一大类椭圆曲线，“谷山—志村猜想”成立。由于他在报告中表明了弗雷猜想的无理数等式方程曲线恰好属于他所说的这一大类椭圆曲线，也就表明了他最终作假证明了“费马大定理”；但专家对他的证明审察发现有漏洞。怀尔斯不得不努力修复着一个看似简单的漏洞。
弗雷猜想的方程是一个无理数等式方程，这个无理数等式方程的曲线不可能是整数不等式费马大定理公式的曲线。这是一个不可修复的漏洞。
怀尔斯和他以前的博士研究生理查德·泰勒用了近一年的时间，用之前一个怀尔斯曾经抛弃过的方法作假修补了这个漏洞，这部份的证明与岩泽理论有关。这就证明了谷山-志村猜想，从而最终作假证明了费马大定理。他们的证明刊在1995年的《数学年刊》（Annals of Mathematics）之上。怀尔斯因此作假获得1998年国际数学家大会的特别荣誉，一个特殊制作的菲尔兹奖银质奖章。
谷山--志村猜想的有理数公式的椭圆曲线不可能是整数不等式公式的数模曲线。这里的数不恒等。因为用不等式是不可能作出数模的。数学规则规定：数模只能用等式作出，用不等式公式猜想而得到的数模是不可信的。
九、四色问题
提出人 ：四色定理(Four color theorem)最先是由一位叫古德里（Francis Guthrie）的英国大学生提出来的。德·摩尔根（Augustus De Morgan，1806～1871）1852年10月23日致哈密顿的一封信提供了有关四色定理来源的最原始的记载。
四色问题又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一。一个多世纪以来数学家们为证明这条定理绞尽脑汁所引进的概念与方法刺激了拓扑学与图论的生长、发展。1976年美国数学家阿佩尔K.Appel与哈肯W.Haken宣告借助电子计算机获得了四色定理的证明，又为用计算机证明数学定理开拓了前景。
四色问题的内容是：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。”用数学语言表示即“将平面任意地细分为不相重叠的区域每一个区域总可以用1234这四个数字之一来标记而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”这里所指的相邻区域是指有一整段边界是公共的。如果两个区域只相遇于一点或有限多点就不叫相邻的。因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。四色问题的内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。”也就是说在不引起混淆的情况下一张地图只需四种颜色来标记就行。
四色定理如果在平面或者球面上不能成立，必然可以构造五个区域或者五个以上区域两两相连。也就是说，如果一个平面需要5种颜色染色才能够用，就是等价于可以构造有五个区域两两相连。所以四色不够用。 如果四色定理不能成立，必然存在一种方法构造五个两两相连区域。
难题解决 ：1972年起黑肯与阿佩尔开始对希奇的方法作重要改进。到1976年他们认为问题已经压缩到可以用计算机证明的地步了。于是从1月份起他们就在伊利诺伊大学的IBM360机上分1482种情况检查历时1200个小时，作了100亿个判断最终证明了四色定理。在当地的信封上盖“Four colorssutfice”四色，足够了的邮戳就是他们想到的一种传播这一惊人消息的别致的方法。
人类破天荒运用计算机证明著名数学猜想引起巨大轰动。但是最终赞赏者有之，怀疑者也不少，因为真正确性一时不能肯定。后来也的确有人指出其错误。比如1989年，黑肯与阿佩尔发表文章宣称错误已被修改。而1998年托马斯简化了黑肯与阿佩尔的计算程序但仍依赖于计算机。无论如何四色问题的计算机解决给数学研究带来了许多重要的新思维。
高速数字计算机的发明促使更多数学家对“四色问题”的研究。从1936年就开始研究四色猜想的海克公开宣称四色猜想可用寻找可约图形的不可避免组来证明。他的学生丢雷写了一个计算程序，海克不仅能用这程序产生的数据来证明构形可约而且描绘可约构形的方法是从改造地图成为数学上称为“对偶”形着手。
他把每个国家的首都标出来，然后，再把相邻国家的首都用一条越过边界的铁路连接起来。除首都(称为顶点)及铁路(称为弧或边)外擦掉其他所有的线剩下的称为原图的对偶图。到了六十年代后期，海克引进一个类似于在电网络中移动电荷的方法来求构形的不可避免组。在海克的研究中第一次以颇不成熟的形式出现的“放电法”。这对以后关于不可避免组的研究是个关键，也是证明四色定理的中心要素。
电子计算机问世以后由于演算速度大幅提高，再加之人机对话的出现大大加快了对四色猜想证明的进程。美国伊利诺大学哈肯在1970年着手改进“放电过程”后与阿佩尔合作编制一个很好的程序。就在1976年6月他们在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上用了1200个小时作了100亿判断终于完成了四色定理的证明，轰动了全界。
“四色问题”的被证明仅解决了一个历时100多年的难题，而且成为数学史上一系列新思维的起点。在“四色问题”的研究过程中不少新的数学理论随之产生也发展了很多数学计算技巧。如将地图的着色问题化为图论问题丰富了图论的内容。不仅如此，“四色问题”在有效地设计航空班机日程表设计计算机的编码程序上都起到了推动作用。世界上不过不少数学家并不满足于计算机取得的成就。他们认为应该有一种简捷明快的书面证明方法。直到现在仍有不少数学家和数学爱好者在寻找更简洁的证明方法。
十、哥德巴赫猜想
提出人： 哥德巴赫1742年给欧拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想:任意大于2的偶数都可写成两个质数之和。但是哥德巴赫自己无法证明，1742年6月30日欧拉给哥德巴赫回信。这个命题看来是正确的，但是他也给不出严格的证明。同时欧拉又提出了另一个命题:任何一个大于2的偶数都是两个素数之和。但是这个命题他也没能给予证明。
因现今数学界已经不使用"1也是素数"这个约定，原初猜想的现代陈述为:任意大于5的整数都可写成三个质数之和。欧拉在回信中也提出另一等价版本，即任意大于2的偶数都可写成两个质数之和。今日常见的猜想陈述为欧拉的版本。把命题"任一充分大的偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"a+b"。1966年陈景润证明了"1+2"成立，即"任意充分大的偶数都可以表示成二个素数的和，或是一个素数和一个半素数的和"。
从关于偶数的哥德巴赫猜想，可推出:任一大于7的奇数都可写成三个质数之和的猜想。后者称为"弱哥德巴赫猜想"或"关于奇数的哥德巴赫猜想"。若关于偶数的哥德巴赫猜想是对的，则关于奇数的哥德巴赫猜想也会是对的。弱哥德巴赫猜想尚未完全解决，但1937年时前苏联数学家维诺格拉多夫已经证明充分大的奇质数都能写成三个质数的和，也称为"哥德巴赫-维诺格拉朵夫定理"或"三素数定理"。
研究偶数的哥德巴赫猜想的四个途径。这四个途径分别是:殆素数，例外集合，小变量的三素数定理以及几乎哥德巴赫问题。
折叠殆素数就是素因子个数不多的正整数。现设N是偶数，虽然不能证明N是两个素数之和，但足以证明它能够写成两个殆素数的和，即N=A+B，其中A和B的素因子个数都不太多，譬如说素因子个数不超过10。用"a+b"来表示如下命题:每个大偶数N都可表为A+B，其中A和B的素因子个数分别不超过a和b。显然，哥德巴赫猜想就可以写成"1+1"。在这一方向上的进展都是用所谓的筛法得到的。
难题解决 ：难题的演进重要过程如下：
"a + b"问题的推进
1920年，挪威的布朗证明了"9 + 9"。
1924年，德国的拉特马赫证明了"7 + 7"。
1932年，英国的埃斯特曼证明了"6 + 6"。
1937年，意大利的蕾西先后证明了"5 + 7", "4 + 9", "3 + 15"和"2 + 366"。
1938年，苏联的布赫夕太勃证明了"5 + 5"。
1940年，苏联的布赫夕太勃证明了"4 + 4"。
1956年，中国的王元证明了"3 + 4"。稍后证明了 "3 + 3"和"2 + 3"。
1948年，匈牙利的瑞尼证明了"1+ c"，其中c是一很大的自然数。
1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩证明了"1 + 5"， 中国的王元证明了"1 + 4"。
1965年，苏联的布赫 夕太勃和小维诺格拉多夫，及意大利的朋比利证明了"1 + 3 "。
1966年，中国的陈景润证明了 "1 + 2 "。
值得一提的是，华罗庚是中国最早从事哥德巴赫猜想的数学家。1936~1938年，他赴英留学，师从哈代研究数论，并开始研究哥德巴赫猜想，验证了对于几乎所有的偶数猜想。
1950年，华罗庚从美国回国，在中科院数学研究所组织数论研究讨论班，选择哥德巴赫猜想作为讨论的主题。参加讨论班的学生，比如王元、潘承洞和陈景润等在哥德巴赫猜想的证明上取得了相当好的成绩。
1956年，王元证明了"3+4";同年，原苏联数学家阿·维诺格拉朵夫证明了"3+3";1957年，王元又证明了"2+3";潘承洞于1962年证明了"1+5";1963年，潘承洞、巴尔巴恩与王元又都证明了"1+4";1966年，陈景润在对筛法作了新的重要改进后，证明了"1+2"。
哥德巴赫猜想证明的困难在于，任何能找到的素数，在以下式中都是不成立的。2*3*5*7*。。。。。。*PN*P=PN+(2*3*5*7*。。。。。。*P-1)*PN前面的偶数减去任何一个素数PN的差必是合数。
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