伽玛函数（Gamma函数），也叫欧拉第二积分，是阶乘函数在实数与复数上扩展的一类函数。该函数在分析学、概率论、偏微分方程和组合数学中有重要的应用。与之有密切联系的函数是贝塔函数，也叫第一类欧拉积分。可以用来快速计算同伽马函数形式相类似的积分。
伽玛函数（Gamma Function）作为阶乘的延拓，是定义在复数范围内的亚纯函数，通常写成
。
（1）在实数域上伽玛函数定义为：
（2）在复数域上伽玛函数定义为：
其中
，此定义可以用解析开拓原理拓展到整个复数域上，非正整数除外。
复平面上的Gamma 函数
（3）除了以上定义之外，伽马函数公式还有另外一个写法：
我们都知道
是一个常用积分结果，公式册启（3）可以用
来验证。
（4）伽马函数还可以定义为无穷乘积：
不完全Gamma函数
详见不完全伽马函数
1728年，哥德巴赫在考虑数列插值的问题，通俗的说就是把数列的通项公式定义从整数集合延拓到实数集合，例如数列1,4,9,16.....可以用通项公式n²自然的表达，即便 n 为实数的时候，这个通项轮型公式也是良好定义的。直观的说也就是可以找到一条平滑的曲线y=x²通过所有的整数点(n,n²),从而可以把定义在整数集上的公式延拓到实数集合。一天哥德巴赫开始处理阶乘序列1,2,6,24,120,720,...,我们可以计算2!,3!,是否可以计算2.5!呢？我们把最初的一些(n,n!)的点画在坐标轴上，确实可以看到，容易画出一条通过这些点的平滑曲线。
但是哥德巴赫无法解决阶乘往实数集上延拓的这个问题，于是写信请教尼古拉斯·伯努利和他的弟弟丹尼尔·伯努利，由于欧拉当时和丹尼尔·伯努利在一块，他也因此得知了这个问题。而欧拉于1729 年完美地解决了这个问题，由此导致了伽玛 函数的诞生，当时欧拉只有22岁。
函数性质
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1、通过分部积分的方法，可以推导出这个州桐如函数有如下的递归性质：
于是很容易证明，伽马函数可以当成是阶乘在实数集上的延拓，对于正整数n，具有如下性质：
2、与贝塔函数的关系：
3、在概率的研究中有一个重要的分布叫做伽玛分布：
其中
。
4、对
，有
这个公式称为余元公式。
由此可以推出以下重要的概率公式：
5、对于
，伽马函数是严格凹函数。
6、伽马函数是亚纯函数，在复平面上，除了零和负整数点以外，它全部解析，而伽马函数在
处的留数为
希望我能帮助你解疑释惑。
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