问题补充说明：求值域的方法，最好有例题附助说明，答的好会有追分哦
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函数值域求法介绍
城区捷胜文昌中学许天一
在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用定曾磁接站模印线输操，而且还要特别重视定360问答义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何电逐求函数的值域，是学生感更建缺较垂须到头痛的问题，它所涉及到缩养的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能黄销星把教即具容四起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下，供参考。
1、直接观察法
对于一些比较简单的函或树宣沙们危爱贵数，其值域可通过观察得到。
例1求函数y=的值域
解：x≠0，≠0
显然函数的值域是：（-∞，0）∪（0，+∞）。
例2求函数y=3-的值域思。
解：≥0-≤03-≤3
故函数的值域是：[-∞，3]
2、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3、求函数y=-2x+5，x[-1，2]的值域。
解：将函数配方得：y原意谓氧况服离=（x-1）+4，x[-1，2]，由二次函数的性质可知：
当x=1时，y=4
当x=-1积句衡植态示，时=8
故函数的值域是：[4，8]
3、判别式法
例4求函数y=的值域。
解：原函数化为关x的一元二次方程（y-1)+（y-1）x=0
（1）当y≠争连怕映怕否析关些响1时，xR,△=(-1酒乎微会)-4(y-1)(y-1)≥0
解号氢乎乎践食得：≤y≤
（2）当y=1，时，x=0,而1[,听头越设认]
故函数的值域为[，]
例5求以接波点某函数y=x+的值域。
解：两边平方整理得：2-2（y+1）x+y=0（1）
xR，△=4（y+1）-8y≥0
解得：1-≤y≤1+
但此时的函数的定义域由x（2-x）≥0，得：0≤x≤2。
由△≥0，仅保证关于x的方程：2-2（y+1）x+y=0在实数集R有商实根，而不能确保法用尽胶随良巴率最田其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由△≥0求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为[，]。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
0≤x≤2，y=x+≥0，
=0，y=1+代入方程（1），解得：=[土笔许敌差信耐顶拿0，2]，即当=时，原函数的值域为：[0，1+]。
注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
4、反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例6求函数y=值域。
解：由原函数式可得：x=
则其反函数为：y=
其定义域为：x≠
故所求函数的值域为：（-∞，）
5、函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。
例7求函数y=的值域。
解：由原函数式可得：=
＞0，＞0
解得：-1＜y＜1。
故所求函数的值域为(-1,1).
例8求函数y=的值域。
解：由原函数式可得：ysinx-cosx=3y
可化为：sinx（x+β）=3y
即sinx（x+β）=
∵x∈R，∴sinx（x+β）∈[-1，1]。即-1≤≤1
解得：-≤y≤故函数的值域为[-，]。
6、函数单调性法
例9求函数y=（2≤x≤10）的值域
解：令y=，=，则y，在[2，10]上都是增函数。
所以y=y+在[2，10]上是增函数。
当x=2时，y=+=，
当x=10时，=+=33。
故所求函数的值域为：[，33]。
例10求函数y=-的值域。
解：原函数可化为：y=
令y=，=，显然y，在[1，+∞）上为无上界的增函数，所以y=y+在[1，+∞）上也为无上界的增函数。所以当x=1时，y=y+有最小值，原函数有最大值=。
显然y＞0，故原函数的值域为(0,]。
7、换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。
例11求函数y=x+的值域。
解：令x-1=t，（t≥0）则x=+1
∵y=+t+1=+，又t≥0，由二次函数的性质可知
当t=0时，y=1，当t→0时，y→+∞。
故函数的值域为[1，+∞）。
例12求函数y=x+2+的值域
解：因1-≥0，即≤1
故可令x+1=cosβ，β∈[0，∏]。
∴y=cosβ+1+=sinβ+cosβ+1=sin（β+∏/4）+1
∵0≤β≤∏，0≤β+∏/4≤5∏/4
∴-≤sin（β+∏/4）≤1
∴0≤sin（β+∏/4）+1≤1+。
故所求函数的值域为[0，1+]。
例13求函数y=的值域
解：原函数可变形为：y=-
可令x=tgβ，则有=sin2β，=cos2β
∴y=-sin2βcos2β=-sin4β
当β=k∏/2-∏/8时，=。
当β=k∏/2+∏/8时，y=-
而此时tgβ有意义。
故所求函数的值域为[-，]。
例14求函数y=（sinx+1）（cosx+1），x∈[-∏/12∏/2]的值域。
解：y=（sinx+1）（cosx+1）=sinxcosx+sinx+cosx+1
令sinx+cosx=t，则sinxcosx=（-1）
y=（-1）+t+1=
由t=sinx+cosx=sin（x+∏/4）且x∈[-∏/12，∏/2]
可得：≤t≤
∴当t=时，=+，当t=时，y=+
故所求函数的值域为[+，+]。
例15求函数y=x+4+的值域
解：由5-x≥0，可得∣x∣≤
故可令x=cosβ，β∈[0，∏]
y=cosβ+4+sinβ=sin（β+∏/4）+4
∵0≤β≤∏，∴∏/4≤β+∏/4≤5∏/4
当β=∏/4时，=4+，当β=∏时，y=4-。
故所求函数的值域为：[4-，4+]。
8数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
例16求函数y=+的值域。
解：原函数可化简得：y=∣x-2∣+∣x+8∣
上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），B（-8）间的距离之和。
由上图可知：当点P在线段AB上时，
y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10
当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，
y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10
故所求函数的值域为：[10，+∞）
例17求函数y=+的值域
解：原函数可变形为：y=+
上式可看成x轴上的点P（x，0）到两定点A（3，2），B（-2，-1）的距离之和，
由图可知当点P为线段与x轴的交点时，y=∣AB∣==，
故所求函数的值域为[，+∞）。
例18求函数y=-的值域
解：将函数变形为：y=-
上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点B（-2，1）到点P（x，0）的距离之差。即：y=∣AP∣-∣BP∣
由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点P¹，则构成△ABP¹，根据三角形两边之差小于第三边，
有∣∣AP¹∣-∣BP¹∣∣＜∣AB∣==
即：-＜y＜
（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有∣∣AP∣-∣BP∣∣=∣AB∣=。
综上所述，可知函数的值域为：（-，-]。注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A，B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使两点A，B在x轴的同侧。
如：例17的A，B两点坐标分别为：（3，2），（-2，-1），在x轴的同侧；
例18的A，B两点坐标分别为：（3，2），（2，-1），在x轴的同侧。
9、不等式法
利用基本不等式a+b≥2，a+b+c≥3（a，b，c∈），求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
例19求函y=（sinx+1/sinx）+（cosx+1/cosx）的值域
解：原函数变形为：
y=（+）+1/+1/
=1++
=3++
≥3+2
=5
当且仅当tgx=ctgx，即当x=k∏±∏/4时（k∈z），等号成立。
故原函数的值域为：[5，+∞）。
例20求函数y=2sinxsin2x的值域
解：y=2sinxsinxcosx
=4cosx
=16
=8（2-2）
≤8（++2-）
=8[（++2-）/3]
=
当且当=2-2，即当=时，等号成立。
由≤，可得：-≤y≤
故原函数的值域为：[-，）。
10、多种方法综合运用
例21求函数y=的值域
解：令t=（t≥0），则x+3=+1
（1）当t＞0时，y==≤，当且仅当t=1，即x=-1时取等号
所以0＜y≤。
（2）当t=0时，y=0。综上所述，函数的值域为：[0，]。
注：先换元，后用不等式法。
例22求函数y=的值域。
解：y=+=+
令x=tg，则=，=sin，
∴y=+sin=-+sin+1
=-+
∴当sin=时，=。当sin=-1时，y=-2。
此时tg都存在，故函数的值域为：〔－2，〕。
注：此题先用换元法。后用配方法，然后再运用sin的有界性。
总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。
标签：高中数学,函数
