我之前回答过,也有一份存档.满意请采纳,都是自己的经验. 我从头说起吧,从基本的一元积分说到第二类曲面积分. 关于重积分的算法： 一重积分(定积分)：只有一个自变量y = f(x) 当被积函数为1时,就是直线的长度(自由度较大) ∫(a→b) dx = L(直线长度) 被积函数不为1时,就是图形的面积(规则) ∫(a→b) f(x) dx = A(平面面积) 另外,定积分也可以求则销规则的旋转体体孙核游积,分别是 盘旋法(Disc Method)：V = π∫(a→b) f²(x) dx 圆壳法(Shell Method)：V = 2π∫(a→b) xf(x) dx 计算方法有换元积分法,极坐标法等,定积分接触得多,不详说了 ∫(α→β) (1/2)[A(θ)]² dθ = A(极坐标下的平面面积) 二重积分：有两个自变量z = f(x,y) 当被积函数为1时,就是面积(自由度较大) ∫(a→b) ∫(c→d) dxdy = A(平面面积) 当被积函数不为1时,就是图形的体积(规则)、和旋转体体积 ∫(a→b) ∫(c→d) dxdy = V(旋转体体积) 计算方法有直角坐标法、极坐标法、雅可比换元法等 极坐标变换：{ x = rcosθ { y = rsinθ { α ≤ θ ≤ β、最大范围：0 ≤ θ ≤ 2π ∫(α→β) ∫(h→k) f(rcosθ,rsinθ) r drdθ 三重积分：有三个自变量u = f(x,y,z) 被积函数为1时,就是体积、旋转体体积(自由度最大) ∫(a→b) ∫(c→d) ∫(e→f) dxdydz = V(旋转体体积) 当被积函数不为1时,就没有几何意义了,有物理意义等 计算方法有直角坐标法、柱坐标切片法、柱坐标投影法、球面坐标法、雅可比换元法等 极坐标变化(切片法)：{ x = rcosθ { y = rsinθ { z = z { a ≤ z ≤ b { 0 ≤ r ≤ z₁ { α ≤ θ ≤ β、最大范围：0 ≤ θ ≤ π ∫(a→b) ∫(α→β) ∫(0→z₁) f(rcosθ,rsinθ,z) r drdθdz 特别地,当f(x,y,z)可表达为f(z)时、 有∫∫∫Ω dxdydz = ∫(a→b) f(z) [∫∫Dz dxdy] dz = ∫(a→b) f(z)(横截面Dz的面积) dz 横截面Dz的面积的表达式是关于z的函数. 极坐标变化(柱坐标)：{ x = rcosθ { y = rsinθ { z = z { h ≤ r ≤ k { α ≤ θ ≤ β、氏模最大范围：0 ≤ θ ≤ 2π ∫(α→β) ∫(h→k) ∫(z₁→z₂) f(rcosθ,rsinθ,z) r dzdrdθ 极坐标变化(球坐标)：{ x = rsinφcosθ { y = rsinφsinθ { z = rcosφ { h ≤ r ≤ k { a ≤ φ ≤ b、最大范围：0 ≤ φ ≤ π { α ≤ θ ≤ β、最大范围：0 ≤ θ ≤ 2π ∫(α→β) ∫(a→b) ∫(h→k) f(rsinφcosθ,rsinφsinθ,rcosφ) r²sin²φ drdφdθ 重积分都可以利用对称性来化简： 对于一重积分： 若被积函数关于y轴对称. 则∫(- a→a) f(x) dx = {0,若f(x)关于x是奇函数 {2∫(- a→a) f(x) dx,若f(x)关于x是偶函数 若被积函数关于x轴对称. 则∫(- b→b) f(y) dy = {0,若f(y)关于y是奇函数 {2∫(- b→b) f(y) dy,若f(y)关于y是偶函数 对于二重积分： 若被积函数关于y轴对称. 则∫∫D f(x,y) dxdy = {0,若f(x,y)关于x是奇函数 {2∫∫D₁ f(x,y) dxdy,若f(x,y)关于x是偶函数,D₁是第一挂限 若被积函数关于x轴对称. 则∫∫D f(x,y) dxdy = {0,若f(x,y)关于y是奇函数 {2∫∫D₁ f(x,y) dxdy,若f(x,y)关于y是偶函数,D₁是第一挂限 特别地,当积分区域是关于两个坐标轴都对称时. 而被积函数也是偶函数.则有∫∫D x² dxdy = ∫∫D y² dxdy = (1/2)∫∫D (x² + y²) dxdy 对于三重积分： 若积分域Ω关于zox面对称. 则∫∫∫Ω f(x,y,z) dxdydz = {0,若f(x,y,z)关于x是奇函数 {2∫∫Ω₁ f(x,y,z) dxdydz,若f(x,y,z)关于x是偶函数,Ω₁是第一挂限 若积分域Ω关于yoz面对称. 则∫∫∫Ω f(x,y,z) dxdydz = {0,若f(x,y,z)关于y是奇函数 {2∫∫Ω₁ f(x,y,z) dxdydz,若f(x,y,z)关于y是偶函数,Ω₁是第一挂限 若积分域Ω关于xoy面对称. 则∫∫∫Ω f(x,y,z) dxdydz = {0,若f(x,y,z)关于z是奇函数 {2∫∫Ω₁ f(x,y,z) dxdydz,若f(x,y,z)关于z是偶函数,Ω₁是第一挂限 特别地,当积分区域是关于三个坐标轴都对称时. 而被积函数也是偶函数.则有∫∫∫Ω x² dV = ∫∫∫Ω y² dV = ∫∫∫Ω z² dV = (1/3)∫∫∫Ω (x² + y² + z²) dV 所以越上一级,能求得的空间范围也越自由,越广泛,但也越复杂,越棘手,而 且限制比上面两个都少,对空间想象力提高了. 重积分能化为几次定积分,每个定积分能控制不同的伸展方向. 又比如说,在a ≤ x ≤ b里由f(x)和g(x)围成的面积,其中f(x) > g(x) 用定积分求的面积公式是∫(a→b) [f(x) - g(x)] dx 但是升级的二重积分,面积公式就是∫(a→b) dx ∫(g(x)→f(x)) dx、被积函数变为1了 用不同积分层次计算由z = x² + y²、z = a²围成的体积? 一重积分(定积分)：向zox面投影,得z = x²、令z = a² --> x = ± a、采用圆壳法 V = 2πrh = 2π∫(0→a) xz dx = 2π∫(0→a) x³ dx = 2π • (1/4)[ x⁴ ] |(0→a) = πa⁴/2 二重积分：高为a、将z = x² + y²向xoy面投影得x² + y² = a² 所以就是求∫∫(D) (x² + y²) dxdy、其中D是x² + y² = a² V = ∫∫(D) (x² + y²) dxdy = ∫(0→2π) dθ ∫(0→a) r³ dr、这步你会发觉步骤跟一重定积分一样的 = 2π • (1/4)[ r⁴ ] |(0→a) = πa⁴/2 三重积分：旋转体体积,被积函数是1,直接求可以了 柱坐标切片法：Dz：x² + y² = z V = ∫∫∫(Ω) dxdydz = ∫(0→a²) dz ∫∫Dz dxdy = ∫(0→a²) πz dz = π • [ z²/2 ] |(0→a²) = πa⁴/2 柱坐标投影法：Dxy：x² + y² = a² V = ∫∫∫(Ω) dxdydz = ∫(0→2π) dθ ∫(0→a) r dr ∫(r²→a²) dz = 2π • ∫(0→a) r • (a² - r²) dr = 2π • [ a²r²/2 - (1/4)r⁴ ] |(0→a) = 2π • [ a⁴/2 - (1/4)a⁴ ] = πa⁴/2 三重积分求体积时能用的方法较多,就是所说的高自由度. 关于曲线积分和曲面积分的算法： 如果再学下去的话,你会发现求(平面)面积、体积 比 求(曲面)面积的公式容易 学完求体积的公式,就会有求曲面的公式 就是「曲线积分」和「曲面积分」,又分「第一类」和「第二类」 当被积函数为1时,第一类曲线积分就是求弧线的长度,对比定积分只能求直线长度 ∫(C) ds = L(曲线长度) 被积函数不为1时,就是求以弧线为底线的曲面的面积 ∫(C) f(x,y) ds = A(曲面面积) 第二类曲线积分的应用有在力场上沿着曲线L所做的功等等 第一类对弧长的曲线积分的算法： 若被积函数是参数方程x = x(t),y = y(t) 则∫(L) f(x,y) ds = ∫(a→b) f[x(t),y(t)] √[x'(t)² + y'(t)²] dt 若被积函数是y = y(x) 则∫(L) f(x,y) ds = ∫(a→b) f[x,y(x)] √[1 + y'(x)²] dx 若被积函数是r = r(θ) 则∫(L) f(x,y) ds = ∫(α→β) f(rcosθ,rsinθ) √[r²(θ) + r'(θ)²] dθ 若积分域关于y轴对称. 则∫(L) f(x,y) ds = {0,若f(x,y)关于x是奇函数. {2∫(L₁) f(x,y) ds,若f(x,y)关于x是偶函数,L₁是第一挂限 若积分域关于x轴对称. 则∫(L) f(x,y) ds = {0,若f(x,y)关于y是奇函数. {2∫(L₁) f(x,y) ds,若f(x,y)关于y是偶函数,L₁是第一挂限 若积分域关于y = x对称： 有∫(L) x² ds = ∫(L) y² ds 有∫(L) x ds = ∫(L) y ds 若积分域关于y = x面对称：(轮换对称性) 有∫(L) x² ds = ∫(L) y² ds = ∫(L) z² ds 有∫(L) x ds = ∫(L) y ds = ∫(L) z ds 第二类对坐标的曲线积分的算法： 若被积函数是参数方程x = x(t),y = y(t) 则∫(L) P(x,y)dx + Q(x,y)dy = ∫(a→b) { P[x(t),y(t)]x'(t) + Q[x(t),y(t)]y'(t) } dt 若被积函数是y = f(x) 则∫(L) P(x,y)dx + Q(x,y)dy = ∫(a→b) { P[x,f(x)] + Q[x,f(x)]f'(x) } dx 若曲线L能围成闭区域D,使用格林公式： 则∮(L) P(x,y)dx + Q(x,y)dy = ∫∫D ( ∂Q/∂x - ∂P/∂y ) dxdy 若曲线L不能围成闭区域,则可以添加线段使其能围成闭区域D,再使用格林公式： 则∫(L) + ∫(L1) + ∫(L2) + ... + ∫(LN) = Σ(k=1→N) ∫(L_k) = ± ∮(L+L1+L2+...) Pdx + Qdy 逆时针取 + 顺时针取 - 若要使用格林公式,而积分域D包含奇点时,则要加起被挖掉奇点部分,再使用格林公式： 被挖掉的L1部分通常是圆形或椭圆形. 即∫(L) + ∫(L1顺时针) = ∮(L+L1) ==> ∫(L) = ∮(L+L1) - ∫(L1顺时针) ==> ∫(L) = ∫(L1逆时针)、若前面部分的二重积分的值为0 若被积函数是三维的,可用斯托克斯公式. ∮(C) Pdx + Qdy + Rdz = ∫∫Σ rotA * n dS = ∫∫Σ (∂R/∂y - ∂Q/∂z)dydz + (∂P/∂z - ∂R/∂x)dzdx + (∂Q/∂x - ∂P/∂y)dxdy 当被积函数为1时,第一类曲面积分就是求曲面的面积,对比二重积分只能求平面面积 ∫∫(Σ) dS = A(曲面面积)、自由度比第一类曲线积分大 ∫∫(Σ) f(x,y,z) dS,物理应用、例如曲面的质量、重心、转动惯量、流速场流过曲面的流量等 第二类曲面积分的应用有在单位时间六国曲面Σ的流量等等. 第一类曲面积分的算法： 对于xoy面,曲面Σ：z = z(x,y) ∫∫Σ f(x,y,z) dS = ∫∫D f[x,y,z(x,y)]√[1 + (∂z/∂x)² + (∂z/∂y)²] dxdy 对于yoz面,曲面Σ：x = x(y,z) ∫∫Σ f(x,y,z) dS = ∫∫D f[x(y,z),y,z]√[1 + (∂x/∂y)² + (∂x/∂z)²] dydz 对于zox面,曲面Σ：y = y(x,z) ∫∫Σ f(x,y,z) dS = ∫∫D f[x,y(x,z),z]√[1 + (∂y/∂z)² + (∂y/∂x)²] dzdx 若积分域Σ关于zox面对称. 则∫∫Σ f(x,y,z) dS = {0,若f(x,y,z)关于x是奇函数 {2∫∫Σ₁ f(x,y,z) dS,若f(x,y,z)关于x是偶函数,Σ₁是第一挂限 若积分域Σ关于yoz面对称. 则∫∫Σ f(x,y,z) dS = {0,若f(x,y,z)关于y是奇函数 {2∫∫Σ₁ f(x,y,z) dS,若f(x,y,z)关于y是偶函数,Σ₁是第一挂限 若积分域Σ关于xoy面对称. 则∫∫Σ f(x,y,z) dS = {0,若f(x,y,z)关于z是奇函数 {2∫∫Σ₁ f(x,y,z) dS,若f(x,y,z)关于z是偶函数,Σ₁是第一挂限 若被积函数关于三个坐标面都对称：(轮换对称性) 有∫∫Σ x² dS = ∫∫Σ y² dS = ∫∫Σ z² dS = (1/3)∫∫Σ (x² + y² + z²) dS 第二类曲面积分的算法： 对于xoy面,曲面Σ：z = z(x,y) ∫∫Σ f(x,y,z) dxdy = ± ∫∫D f[x,y,z(x,y)] dxdy.上侧 + 下侧 - 对于yoz面,曲面Σ：x = x(y,z) ∫∫Σ f(x,y,z) dydz = ± ∫∫D f[x(y,z),y,z] dydz.前侧 + 后侧 - 对于zox面,曲面Σ：y = y(x,z) ∫∫Σ f(x,y,z) dzdx = ± ∫∫D f[x,y(x,z),z] dzdx.右侧 + 左侧 - 或者用三合一公式： ∫∫Σ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ± ∫∫D [ - P * ∂z/∂x - Q * ∂z/∂y + R ] dxdy.上侧 + 下侧 - 两类曲面积分之间的转换： ∫∫Σ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ∫∫Σ (Pcosα + Qcosβ + Rcosγ) dS 高斯公式：若Σ是封闭曲面的外侧 ∫∫Σ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ∫∫∫Ω ( ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z ) dxdydz 若积分域Ω内包含奇点时,则要加起挖掉奇点部分(取内测)的积分,然后再使用高斯公式： 即∫∫Σ + ∫∫Σ1 = ∫∫(Σ+Σ1) = ± ∫∫∫Ω 得∫∫Σ = ± ∫∫∫Ω - ∫∫Σ1 外侧取 + 内测取 - 而第二类曲线积分/第二类曲面积分以物理应用为主要,而且是有"方向性"的,涉及向量范围了. 这两个比较复杂,概念又深了一层.
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